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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=
!set gl_title=Variance d'une variable alatoire
!set gl_level=H5 Gnrale , H6 Gnrale 
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<div class="wims_defn">
<H4>Dfinition :</H4>
Soit \(X\) une <strong>variable alatoire</strong> relle dfinie sur un univers fini <span class="nowrap">\({\Omega}\).</span><br>
On suppose que \(X\) prend \(n\) valeurs (\(n\) entier naturel non nul) notes \(x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n\) avec les probabilits \(p_1,\,p_2,\,\ldots,\,p_n\) et on note \(\mathbf{E}(X)\) son esprance mathmatique.
<table class="wimscenter wimsborder" >
<tr>
<th style="background-color:#c8c3c3;">\(k\)</th>
<td>\(x_1\)</td>
<td>\(x_2\)</td>
<td>...</td>
<td>\(x_n\)</td>
</tr>
<tr>
<th style="background-color:#c8c3c3;">\(\mathbf{P}\left(X=k\right)\)</th>
<td>\(p_1\)</td>
<td>\(p_2\)</td>
<td>...</td>
<td>\(p_n\)</td>
</tr>
</table>
La <strong>variance</strong> de la variable alatoire \(X\) est le rel not \(\mathbf{V}(X)\) dfini par&nbsp;:
<div class="wimscenter unbreakable">
\(\mathbf{V}(X) = p_1 \left(x_1-\mathbf{E}(X)\right)^2 + p_2 \left(x_2-\mathbf{E}(X)\right)^2 + ... + p_n \left(x_n-\mathbf{E}(X)\right)^2\)
</div>
On note galement&nbsp;:
<div class="wimscenter">
\(\displaystyle{\mathbf{V}(X) = \sum_{i=1}^{n} \left(x_i-\mathbf{E}(X)\right)^2}\)
</div>
</div>
:
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<div class="wims_thm">
<H4>Proprits (uniquement en classe de terminale)&nbsp;:</H4>
Soit \(X\) et \(Y\) des variables alatoires <strong>indpendantes</strong> dfinies sur un univers fini \({\Omega}\) et soit \(a\) et \(b\) deux rels, on a&nbsp;:
<ul>
<li> \(\mathbf{V}(a X) =a^2\mathbf{V}(X) \)
</li>
<li> \(\mathbf{V}(X+b) =\mathbf{V}(X)\)
</li>
<li> \(\mathbf{V}(X+Y) =\mathbf{V}(X) +\mathbf{V}(Y) \)
</li>
</ul>
</div>

